Soal dan Pembahasan – Vektor (Matematika)

Diketahui
$\begin{aligned} \vec a & = (1,2,-3) \\ \vec b & = (3,0,5) \\ \vec c & = (-2,-4,1). \end{aligned}$
Dengan demikian, 
$$\begin{aligned} \vec u & = 2 \vec a + \vec b-\vec c \\ & = 2(1,2,-3)+(3,0,5)-(-2,-4,1) \\ & = (2,4,-6)+(3,0,5)+(2,4,-1) \\ & = (2+3+2,4+0+4,-6+5-1) \\ & = (7,8,-2). \end{aligned}$$Jadi, vektor $\vec u$ adalah $\boxed{7\widehat{i} + 8\widehat{j}-2\widehat k}.$
(Jawaban D)

Karena $A, B, C$ segaris, vektor yang dibentuk oleh dua dari tiga titik itu akan saling berkelipatan (memiliki perbandingan yang sama). 
Dari koordinat titik yang diberikan, diketahui
$\begin{aligned} \vec{AB} & = B-A = (3,3,1)-(1,2,3) \\ & =(2,1,-2) \\ \vec{BC} & = C-B = (7,5,-3)-(3,3,1) \\ & = (4,2,-4). \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \dfrac{\vec {AB}}{\vec {BC}} & = \dfrac{(2,1,-2)}{(4,2,-4)} \\ & = \dfrac{\cancel{(2,1,-2)}}{2\cancel{(2,1,-2)}} = \dfrac12. \end{aligned}$
Jadi, $\boxed{\vec{AB} : \vec{BC} = 1 : 2}.$
(Jawaban A)

Karena $\vec a \perp \vec b$ (saling tegak lurus), $\vec a \bullet \vec b = 0$ sehingga ditulis 
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-3 \end{pmatrix} \bullet \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ m \end{pmatrix} & = 0 \\ (1)(4) + (2)(4) + (-3)(m) & = 0 \\ 4+8-3m&=0 \\-3m&=-12 \\ m &=4. \end{aligned}$
Dengan demikian, 
$$\begin{aligned} \vec a + 2 \vec b- \vec c & = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-3 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ m \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 3 \\-4 \\ 5 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 1+8-3 \\ 2+8-(-4) \\-3+8-5 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ 0 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\boxed{\vec a + 2 \vec b-\vec c = \begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ 0 \end{pmatrix}}.$
(Jawaban A)

Diketahui 
$\vec a = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-x \end{pmatrix}~~~~\vec b = \begin{pmatrix} 3 \\-2 \\ 1 \end{pmatrix}~~~~\vec c = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}.$
Karena $\vec a \perp \vec c$ (saling tegak lurus), haruslah $\vec a \bullet \vec c = 0$ sehingga ditulis 
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-x \end{pmatrix} \bullet \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} & = 0 \\ (1)(2) + (2)(1) + (-x)(2) & = 0 \\ 2+2-2x&=0 \\-2x&=-4 \\ x &=2. \end{aligned}$
Dengan demikian, 
$$\begin{aligned} & (\vec a + \vec b) \bullet (\vec a- \vec c) \\ & = \left[\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-x \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\-2 \\ 1 \end{pmatrix}\right] \bullet \left[\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-x \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right] \\ & = \left[\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\-2 \\ 1 \end{pmatrix}\right] \bullet \left[\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-2 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right] \\ & =\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\-1 \end{pmatrix} \bullet \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\-4 \end{pmatrix} \\ & = (4)(-1)+(0)(1)+(-1)(-4) = 0. \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\boxed{(\vec a + \vec b) \bullet (\vec a-\vec c) = 0}.$
(Jawaban C)

Diketahui $\vec u = (3,2,-1)$ dan $\vec v = (3,9,-12).$
Misalkan $\vec x = 2 \vec u- a \vec v$ sehingga
$\begin{aligned} \vec x & = 2(3,2,-1)-a(3,9,-12) \\ & = (6,4,-2)-(3a, 9a,-12a) \\ & = (6-3a, 4-9a,-2+12a). \end{aligned}$
Karena vektor $\vec x = 2 \vec u-a \vec v$ tegak lurus terhadap $\vec v$, haruslah memenuhi $\vec x \bullet \vec v = 0$ sehingga ditulis
$$\begin{aligned} (6-3a, 4-9a,-2+12a) \bullet (3,9,-12) & = 0 \\ 3(6-3a) + 9(4-9a) + (-12)(-2+12a) & =0 \\ 18-9a + 36-81a + 24- 144a & = 0 \\ 78- 234a & = 0 \\-234a & =-78 \\ a & = \dfrac13. \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{a = \dfrac13}.$
(Jawaban D)

Misalkan $\vec x = 3 \vec u + 2 \vec v$ sehingga
$\begin{aligned} \vec x & = 3(2,-1,3) + 2(-3,2,6) \\ & = (6,-3,9)+(-6,4,12) \\ & = (6+(-6),-3+4, 9+12) \\ & = (0, 1, 21). \end{aligned}$
Panjang proyeksi vektor skalar $\vec x = 3 \vec u + 2 \vec v$ pada vektor $\vec v$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned} |\vec x_{\vec v}| & = \dfrac{\vec x \bullet \vec v} {|\vec v|} \\ & = \dfrac{(0,1,21) \bullet (-3,2,6)} {\sqrt{(-3)^2+(2)^2+(6)^2}} \\ & = \dfrac{(0)(-3)+(1)(2)+(21)(6)} {\sqrt{9+4+36}} \\ & = \dfrac{0+2+126}{\sqrt{49}} \\ & = \dfrac{128}{7} = 18\dfrac27. \end{aligned}$
Jadi, panjang proyeksi vektor skalar dari kedua vektor tersebut adalah $\boxed{18\dfrac27}.$ 
(Jawaban C)

Diketahui
$\begin{aligned} \vec u & = (1, 2,-1) \\ \vec v & = (1, 1, m) \\ |\vec u _{\vec v}| & = \dfrac23\sqrt3. \end{aligned}$
Dengan menggunakan rumus panjang proyeksi vektor, diperoleh
$$\begin{aligned} |\vec u _{\vec v}| & = \dfrac{\vec u \bullet \vec v}{|\vec v|} \\ \dfrac23\sqrt3 & = \dfrac{(1,2,-1) \bullet (1,1,m)}{\sqrt{(1)^2+(1)^2+m^2}} \\ \dfrac23\sqrt3 & = \dfrac{1(1) + 2(1) + (-1)(m)}{\sqrt{2+m^2}} \\ \dfrac23\sqrt3 & = \dfrac{3-m}{\sqrt{2+m^2}} \\ \text{Kuadratkan}&~\text{kedua ruas} \\ \left(\dfrac23\sqrt3\right)^2 & = \left(\dfrac{3-m}{\sqrt{2+m^2}}\right)^2 \\ \dfrac{4}{\cancelto{3}{9}} \cdot \cancel{3} & = \dfrac{9-6m+m^2}{2+m^2} \\ \dfrac43(2+m^2) & = 9-6m+m^2 \\ 8+4m^2 & = 27-18m+3m^2 \\ m^2 + 18m- 19 & = 0 \\ (m+19)(m-1) & = 0. \end{aligned}$$Dari sini, diperoleh $m =-19$ atau $m=1.$ Karena $m>0$, dipilih $m=1$ sehingga nilai $\boxed{m+2=1+2=3}.$
(Jawaban B)

Diketahui
$\begin{aligned} \text{Koor}\text{dinat}~A & = (t^2+1, t) \\ \text{Koord}\text{inat}~B & = (1,2) \\ \text{Koord}\text{inat}~O & = (0,0) \\ |\vec{OA}_{\vec {OB}}| > \dfrac{4}{\sqrt5}. \end{aligned}$
Karena panjang proyeksi vektornya lebih dari $\dfrac{4}{\sqrt5},$ kita tuliskan
$\begin{aligned} |\vec{OA}_{\vec {OB}}|& > \dfrac{4}{\sqrt5} \\ \dfrac{\vec{OA} \bullet \vec{OB}}{|\vec{OB}|} & > \dfrac{4}{\sqrt{5}} \\ \dfrac{(t^2+1, t) \bullet (1, 2)}{\sqrt{(1)^2+(2)^2}} & > \dfrac{4}{\sqrt{5}} \\ \dfrac{(t^2+1)(1) + t(2)}{\cancel{\sqrt5}} & > \dfrac{4}{\cancel{\sqrt5}} \\ t^2+1+2t & > 4 \\ t^2+2t-3 & > 0 \\ (t+3)(t-1) & > 0. \end{aligned}$
Pembuat nol: $t =-3$ atau $t = 1$.
Nilai $t$ yang mungkin adalah $\boxed{t<-3~\text{atau}~t>1}.$
(Jawaban C)

Diketahui
$\begin{aligned} \vec x & = (-\sqrt3,3,1) \\ \vec y & = (\sqrt3, 2, 3). \end{aligned}$
Panjang proyeksi vektor $\vec x$ pada $\vec y$ dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} |\vec z| = |\vec x_{\vec y}| & = \dfrac{\vec x \bullet \vec y} {|\vec y|} \\ & = \dfrac{(-\sqrt3, 3, 1) \bullet (\sqrt3, 2, 3)} {\sqrt{(\sqrt3)^2+(2)^2+(3)^2}} \\ & = \dfrac{(-\sqrt3)(\sqrt3)+(3)(2)+(1)(3)} {\sqrt{3+4+9}} \\ & = \dfrac{-3 + 6 + 3}{\sqrt{16}} \\ & = \dfrac{6}{4} = \dfrac32. \end{aligned}$$Jadi, panjang vektor $\vec z$ adalah $\boxed{\dfrac32}.$
(Jawaban C)

Panjang proyeksi vektor $\vec p$ pada $\vec q$ dinyatakan oleh $|\vec p_{\vec q}| = \dfrac{\vec p \bullet \vec q} {|\vec q|}.$
Diketahui
$\begin{aligned} \vec p & = (1,-1,2) \\ \vec q & = (2,-2,n) \\ |\vec p_{\vec q}| & = 2. \end{aligned}$
Untuk itu, kita peroleh
$$\begin{aligned} 2 & = \dfrac{(1,-1,2) \bullet (2,-2,n)}{\sqrt{(2)^2+(-2)^2+(n)^2}} \\ 2 & = \dfrac{(1)(2) + (-2)(-1) + (2)(n)} {\sqrt{4+4+n^2}} \\ 2 & = \dfrac {4+2n} {\sqrt{8+n^2}} \\ 2\sqrt{8+n^2} & = 4+2n \\ \sqrt{8+n^2} & = 2+n \\ \text{Kuadratkan}~&\text{kedua ruas} \\ 8+n^2 & = (2+n)^2 \\ 8+\cancel{n^2} & = 4+4n+\cancel{n^2} \\ 8&=4+4n \\ n & = \dfrac{8-4}{4} = 1. \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{n = 1}.$
(Jawaban A)

Karena $\vec u$ dan $\vec v$ vektor satuan, haruslah $|\vec u| = |\vec v| =1$ dan juga diketahui $\angle(\vec u, \vec v) = 45^{\circ}.$
Untuk itu,
$$\begin{aligned} (\vec u + \vec v) \bullet \vec v & = \vec u \bullet \vec v + \vec v \bullet \vec v \\ & = |\vec u| \cdot |\vec v| \cos 45^{\circ} + |\vec v| \cdot |\vec v| \cos 0^{\circ} \\ & = (1)(1)\left(\dfrac12\sqrt2\right) + (1)(1)(1) \\ & = 1 + \dfrac12\sqrt2 = \dfrac{2+\sqrt2}{2}. \end{aligned}$$Catatan: Besar sudut antara dua vektor yang sama adalah $0^{\circ}.$
Jadi, $\boxed{(\vec u + \vec v) \bullet \vec v = \dfrac{2+\sqrt2}{2}}.$
(Jawaban A)

Karena $\vec a, \vec b$, dan $\vec c$ vektor satuan, haruslah $|\vec a| = |\vec b| = |\vec c| = 1$ dan juga diketahui $\angle(\vec a, \vec b) = \angle(\vec a, \vec c) = \angle(\vec b, \vec c ) = 60^{\circ}.$
Untuk itu,
$$\begin{aligned} & (\vec a + \vec b) \bullet (\vec b-\vec c) \\ & = \vec a \bullet \vec b-\vec a \bullet \vec c + \vec b \bullet \vec b-\vec b \bullet \vec c \\ & = |\vec a| \cdot |\vec b| \cos 60^{\circ}-|\vec a| \cdot |\vec c| \cos 60^{\circ} + \vec b| \cdot |\vec b| \cos 0 ^{\circ}-|\vec b| \cdot |\vec c| \cos 60^{\circ} \\ & = (1)(1)\left(\dfrac12\right)-(1)(1)\left(\dfrac12\right) + \\ & (1)(1)(1)-(1)(1)\left(\dfrac12\right) \\ & = \dfrac12-\dfrac12 + 1-\dfrac12 = \dfrac12. \end{aligned}$$Jadi, $\boxed{(\vec a + \vec b) \bullet (\vec b-\vec c) = \dfrac12}.$
(Jawaban C)

Untuk $A(1,0,-2),B(2,1,-1)$, dan $C(2,0,-3)$, diperoleh
$$\begin{aligned} \vec{AB} & = B- A = (2,1,-1)-(1,0,-2) \\ & = (1,1,1) \\ \vec{AC} & = C- A = (2,0,-3)-(1,0,-2) \\ & = (1, 0,-1). \end{aligned}$$Misalkan sudut yang terbentuk oleh kedua vektor adalah $\theta$. 
Kosinus sudut kedua vektor itu dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} \cos \theta & = \dfrac{\vec{AB} \bullet \vec{AC}} {|\vec {AB}| \cdot |\vec {AC}|} \\ & = \dfrac{(1,1,1) \bullet (1,0,-1)} {\sqrt{(1)^2+(1)^2+(1)^2} \cdot \sqrt{(1)^2+(0)^2+(-1)^2}} \\ & = \dfrac{1+0+(-1)}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} \\ & = \dfrac{0}{\sqrt6} = 0. \end{aligned}$$Dari $\cos \theta = 0$, diperoleh $\boxed{\theta = 90^{\circ}}.$
(Jawaban D)

Misalkan $\theta$ merupakan besar sudut yang terbentuk oleh kedua vektor tersebut. Kosinus sudut kedua vektor itu dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} & \cos \theta = \dfrac{\vec a \bullet \vec b} {|\vec a| \cdot |\vec b|} \\ & = \dfrac{(2,-3,1) \bullet (1,-2,3)} {\sqrt{(2)^2+(-3)^2+(1)^2} \cdot \sqrt{(1)^2+(-2)^2+(3)^2}} \\ & = \dfrac{2+6+3}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} \\ & = \dfrac{11}{14}. \end{aligned}$$Dengan menggunakan identitas Pythagoras dalam trigonometri, yaitu $\boxed{\sin \theta = \sqrt{1-\cos^2 \theta}},$
diperoleh
$\begin{aligned} \sin \theta & = \sqrt{1- \left(\dfrac{11}{14}\right)^2} \\ & = \sqrt{1-\dfrac{121}{196}} = \sqrt{\dfrac{75}{196}} = \dfrac{5\sqrt3}{14}. \end{aligned}$
Jadi, nilai sinus sudut antar vektor $\vec a$ dan $\vec b$ adalah $\boxed{\dfrac{5\sqrt3}{14}}.$
(Jawaban C)

Bila vektor dinyatakan dalam bentuk koordinat, haruslah $\vec a = (1, 1, 0)$ dan $\vec b = (-1, 0, 1).$
Misalkan sudut yang terbentuk oleh kedua vektor adalah $\theta$. 
Kosinus sudut kedua vektor itu dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} & \cos \theta = \dfrac{\vec a \bullet \vec b} {|\vec a| \cdot |\vec b|} \\ & = \dfrac{(1,1,0) \bullet (-1,0,1)} {\sqrt{(1)^2+(1)^2+(0)^2} \cdot \sqrt{(-1)^2+(0)^2+(1)^2}} \\ & = \dfrac{-1+0+0}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} =-\dfrac{1}{2}. \end{aligned}$$Dengan menggunakan identitas Pythagoras dalam trigonometri, yaitu $\boxed{\sin \theta = \sqrt{1-\cos^2 \theta}},$
diperoleh
$\begin{aligned} \sin \theta & = \sqrt{1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2} \\ & = \sqrt{1-\dfrac14} = \sqrt{\dfrac34} = \dfrac12\sqrt3. \end{aligned}$
Jadi, nilai sinus sudut antar vektor $\vec a$ dan $\vec b$ adalah $\boxed{\dfrac12\sqrt3}.$
(Jawaban E)

Diketahui 
$\begin{aligned} |\vec a| & = 3 \\ |\vec b| &= 4 \\ |\vec a-\vec b| & = \sqrt{37}. \end{aligned}$
Dengan menggunakan aturan kosinus pada vektor, diperoleh
$$\begin{aligned} |\vec a-\vec b| & = \sqrt{|\vec a|^2 + |\vec b|^2- 2|\vec a||\vec b| \cos \theta} \\ \text{Kuadratkan}&~\text{kedua ruas} \\ (\sqrt{37})^2 & = (3)^2 + (4)^2-2(3)(4) \cos \theta \\ 37 & = 9+16-24\cos \theta \\-24 \cos \theta & = 12 \\ \cos \theta & =-\dfrac{12}{24} =-\dfrac12. \end{aligned}$$Untuk $\cos \theta =-\dfrac12$, diperoleh $\theta = 120^{\circ}.$
Jadi, besar sudut antara vektor $\vec a$ dan vektor $\vec b$ adalah $\boxed{120^{\circ}}.$
(Jawaban D)

Besar sudut $ABC$ dapat ditentukan dengan menerapkan rumus
$$\boxed{\cos \theta = \dfrac{\vec {AB} \bullet \vec{BC}}{|\vec {AB}| \cdot |\vec {BC}|}}.$$Perhatikan bahwa
$\begin{aligned}\vec{AB} & = B- A \\ & = (2,-1,-1)-(5, 1, 3) \\ & = (-3,-2,-4). \end{aligned}$
dan
$\begin{aligned}\vec{BC} & = C- B \\ & = (4, 2,-4)-(2,-1,-1) \\ & = (2, 3,-3). \end{aligned}$
Panjang vektor $\vec{AB}$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned} |\vec{AB}| & = \sqrt{(-3)^2+(-2)^2+(-4)^2} \\ & = \sqrt{9+4+16} \\ & = \sqrt{29}. \end{aligned}$
Panjang vektor $\vec{BC}$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned}|\vec{BC}| & = \sqrt{(2)^2+(3)^2+(-3)^2} \\ & = \sqrt{4+9+9} \\ &= \sqrt{22}. \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \cos \theta & = \dfrac{\vec {AB} \bullet \vec{BC}}{|\vec {AB}|\cdot |\vec {BC}|} \\ & = \dfrac{(-3,-2,-4) \bullet (2, 3,-3)}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{22}} \\ & = \dfrac{-6-6+12}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{22}} \\ & = 0. \end{aligned}$
Karena $\cos \theta = 0$, haruslah $\boxed{\theta = 90^{\circ}=\dfrac{\pi}{2}}.$
(Jawaban B)

Diketahui $|\vec a| = 2\sqrt3; |\vec b| = 4.$
Karena vektor $\vec a$ tegak lurus dengan $(\vec a +\vec b)$, haruslah $\vec a \bullet (\vec a + \vec b) = 0.$
Dari sini, kita peroleh
$$\begin{aligned} \vec a \bullet \vec a + \vec a \bullet \vec b & = 0 \\ |\vec a| |\vec a| \cos 0^{\circ} + |\vec a||\vec b| \cos \theta & = 0 \\ 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt3 \cdot 1 + 2\sqrt3 \cdot 4 \cdot \cos \theta & = 0 \\ 12+8\sqrt3 \cos \theta & = 0 \\ \cos \theta & =-\dfrac{12}{8\sqrt{3}} \\ & =-\dfrac{3}{2\sqrt3} \times \dfrac{\sqrt3}{\sqrt3} \\ & =-\dfrac{\cancel{3}\sqrt3}{2(\cancel{3})} \\ & =-\dfrac12\sqrt3. \end{aligned}$$Karena $\cos \theta =-\dfrac12\sqrt3$, haruslah nilai $\boxed{\theta = 150^{\circ}}.$
(Jawaban A)

Dari koordinat titik yang diberikan, diketahui
$\begin{aligned} \vec{TB} & = B- T = (5, 0, 0)- (1, 0, 3) \\ & = (4,0,-3) \\ \vec{TC} & = C- T = (1,4,0)-(1,0,3) \\ & =(0,4,-3). \end{aligned}$
Panjang kedua vektor tersebut dinyatakan oleh
$\begin{aligned} |\vec{TB}| & = \sqrt{(4)^2+(0)^2+(-3)^2} = 5 \\|\vec{TC}| & = \sqrt{(0)^2+(4)^2+(-3)^2} = 5. \end{aligned}$
Kosinus dari sudut antara $\vec{TB}$ dan $\vec{TC}$ dapat ditentukan dengan menggunakan aturan kosinus pada vektor.
$$\begin{aligned} \cos \theta & = \dfrac{\vec {TB} \bullet \vec{TC}}{|\vec {TB}| \cdot |\vec {TC}|} \\ & = \dfrac{(4,0,-3) \bullet (0, 4,-3)}{5 \cdot 5} \\ & = \dfrac{4(0) + 0(4) + (-3)(-3)}{25} = \dfrac{9}{25} \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{\cos \theta = \dfrac{9}{25}}.$
(Jawaban E)

Diketahui $\vec a = (1, 1,-r), \vec b = (r,-r,-2)$ dan $\angle(\vec a, \vec b) = \theta = 60^{\circ}.$
Dengan menggunakan aturan kosinus pada vektor, diperoleh
$$\begin{aligned} \cos \theta & = \dfrac{\vec a \bullet \vec b}{|\vec a| \cdot |\vec b|} \\ & = \dfrac{(1,1,-r) \bullet (r,-r,-2)}{\sqrt{(1)^2+(1)^2+(-r)^2} \cdot \sqrt{(r)^2+(-r)^2+(-2)^2}} \\ \cos 60^{\circ} & = \dfrac{1(r) + 1(-r) + (-r)(-2)}{\sqrt{2+r^2} \cdot \sqrt{2r^2+4}} \\ \dfrac12 & = \dfrac{2r}{\sqrt{2r^4+8r^2+8}} \\ 4r & = \sqrt{2r^4+8r^2+8} \\ & \text{Kuadratkan}~\text{kedua ruas} \\ 16r^2 & = 2r^4+8r^2+8 \\ 0 & = 2r^4-8r^2+8 \\ 0 & = r^4-4r^2+4 \\ 0 & = (r^2-2)(r^2-2). \end{aligned}$$Didapat $r^2 = 2 \Leftrightarrow r = \pm \sqrt2.$
Karena $r$ dikatakan bernilai positif, didapat $\boxed{r = \sqrt2}.$
(Jawaban A)

Proyeksi ortogonal vektor $\vec u$ pada $\vec v$ dinyatakan oleh $\boxed{\vec u_{\vec v} = \dfrac{\vec u \bullet \vec v} {|\vec v|^2} \cdot \vec v}.$
Untuk $\vec u = (0,2,2)$ dan $\vec v =(-2,0,2),$ diperoleh
$$\begin{aligned} \vec u_{\vec v} & = \dfrac{(0,2,2) \bullet (-2,0,2)} {(\sqrt{(-2)^2+(0)^2+(2)^2})^2} \cdot (-2,0,2) \\ & = \dfrac{(0)(-2)+(2)(0)+(2)(2)} {4+4} \cdot (-2,0,2) \\ & = \dfrac{4}{8} \cdot (-2,0,2) \\ & = (-1,0,1). \end{aligned}$$Jadi, proyeksi ortogonal vektor $\vec u = (0,2,2)$ pada $\vec v=(-2,0,2)$ adalah $(-1,0,1)$ atau bila dinyatakan dalam vektor komponen, akan menjadi $\boxed{-\widehat i + \widehat k}.$
(Jawaban A)

Proyeksi ortogonal vektor $\vec a$ pada $\vec b$ dinyatakan oleh $\boxed{\vec a_{\vec b} = \dfrac{\vec a \bullet \vec b} {|\vec b|^2} \cdot \vec b}.$
Untuk $\vec a = (4,1,3)$ dan $\vec b =(2,1,3)$, diperoleh
$$\begin{aligned} \vec a_{\vec b} & = \dfrac{(4,1,3) \bullet (2,1,3)} {(\sqrt{(2)^2+(1)^2+(3)^2})^2} \cdot (2,1,3) \\ & = \dfrac{(4)(2)+(1)(1)+(3)(3)} {4+1+9} \cdot (2,1,3) \\ & = \dfrac{18}{14} \cdot (2,1,3) \\ & = \dfrac97(2\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k}). \end{aligned}$$Jadi, proyeksi ortogonal vektor $\vec a = (4,1,3)$ pada $\vec b=(2,1,3)$ adalah $\boxed{\dfrac97(2\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k})}.$ 
(Jawaban D)

Diketahui
$\begin{aligned} \vec a & = (1,-5, 2) \\ \vec b & = (8,0,m) \\ |\vec b_{\vec a}| & = \dfrac15|\vec a|. \end{aligned}$
Akan dicari nilai $m$ dengan menggunakan rumus panjang proyeksi vektor.
$$\begin{aligned} |\vec b_{\vec a}| & = \dfrac{\vec b \bullet \vec a}{|\vec a|} \\ \dfrac15|\vec a| & = \dfrac{(8,0,m) \bullet (1,-5,2)}{|\vec a|} \\ \dfrac15\sqrt{(1)^2+(-5)^2+(2)^2} & = \dfrac{8(1)+0(-5)+m(2)}{\sqrt{(1)^2+(-5)^2+(2)^2}} \\ \dfrac15\sqrt{30} & = \dfrac{8+2m}{\sqrt{30}} \\ 40+10m & = 30 \\ 10m & =-10 \\ m & =-1 \end{aligned}$$Dengan demikian, vektor proyeksi $\vec b$ pada $\vec a$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \vec b_{\vec a} & = \dfrac{\vec b \bullet \vec a}{|\vec a|^2} \cdot \vec a \\ & = \dfrac{8+2m}{(\sqrt{30})^2} \cdot (\widehat{i}-5\widehat{j}+2\widehat{k}) \\ & = \dfrac{8+2(-1)}{30} \cdot (\widehat{i}-5\widehat{j}+2\widehat{k}) \\ & = \dfrac15(\widehat{i}-5\widehat{j}+2\widehat{k}) \\ & = \;\boxed{\dfrac15\widehat{i}-\widehat{j}+\dfrac25\widehat{k}}\end{aligned}.$
(Jawaban D)

Dengan menerapkan aturan kosinus pada vektor, diperoleh
$$\begin{aligned} |\vec a-\vec b| & = 1 \\ \sqrt{|\vec a|^2 + |\vec b|^2- 2|\vec a||\vec b| \cos \theta} & = 1 \\ \text{Kuadratkan kedua ruas} & \\ |\vec a|^2 + |\vec b|^2-2|\vec a||\vec b| \cos \theta & = 1 \\ (\sqrt3)^2 + (1)^2-2(\sqrt3)(1) \cos \theta & = 1 \\ 4-2\sqrt3 \cos \theta & = 1 \\ \cos \theta & = \dfrac{-3}{-2\sqrt3} \\ \cos \theta & = \dfrac{3}{2\sqrt3}. \end{aligned}$$Dengan demikian, 
$$\begin{aligned} |\vec a + \vec b| & = \sqrt{|\vec a|^2 + |\vec b|^2 + 2|\vec a||\vec b| \cos \theta} \\ & = \sqrt{(\sqrt3)^2 + (1)^2 + \cancel{2(\sqrt3)}(1) \times \dfrac{3}{\cancel{2\sqrt3}}} \\ & = \sqrt{3+1+3} =\sqrt7. \end{aligned}$$Jadi, panjang vektor $(\vec a + \vec b)$ adalah $\boxed{\sqrt7}.$
(Jawaban C)

Diketahui
$\begin{aligned} |\vec a| & = 1 \\ |\vec b| & = 4 \\ \vec a \bullet \vec b & = 3. \end{aligned}$
Kosinus sudut antara $\vec a$ dan $\vec b$ dinyatakan oleh
$\cos \theta = \dfrac{\vec a \bullet \vec b}{|\vec a| \cdot |\vec b|} = \dfrac{3}{1 \cdot 4}= \dfrac34.$
Karena $\vec {2a}$ merupakan perpanjangan dari $\vec a$, sudut yang terbentuk oleh $\vec {2a}$ dan $\vec b$ sama dengan sudut yang terbentuk oleh $\vec a$ dan $\vec b$, yaitu $\theta$ sehingga dengan menggunakan aturan kosinus pada vektor, diperoleh
$$\begin{aligned} |2\vec a-\vec b| & = \sqrt{|2a|^2+|b|^2-2|2a||b| \cos \theta} \\ & = \sqrt{(2(1))^2 + (4)^2-2(2)(\cancel{4}) \dfrac{3}{\cancel{4}}} \\ & = \sqrt{4+16-12} = \sqrt8 = 2\sqrt2. \end{aligned}$$Jadi, panjang vektor $2 \vec a- \vec b$ adalah $\boxed{2\sqrt2}.$ 
(Jawaban B)

Diketahui
$\begin{aligned} \vec a & = (2,-2\sqrt2,4) \\ \vec b & = (-1, p, q) \\ \vec c & = (3,\sqrt2,-1).\end{aligned}$
Karena $\vec a$ berlawanan arah dengan $\vec b$, haruslah ada skalar $k < 0$ sehingga memenuhi
$\vec a = k\vec b \Rightarrow (2,-2\sqrt2, 4) = k(-1,p,q).$
Dari absis, kita peroleh $2 =-k \Leftrightarrow k =-2.$
Dengan demikian, $-2\sqrt2 =-2p \Leftrightarrow p = \sqrt2$ dan $4 =-2q \Leftrightarrow q =-2$ sehingga $\vec b = (-1, \sqrt2,-2).$
Untuk itu,
$\begin{aligned} & (\vec a- \vec b) \bullet (\vec b- \vec c) \\ & = [(2,-2\sqrt2, 4)- (-1, \sqrt2,-2)] \\ & \bullet [(-1, \sqrt2,-2)- (3, \sqrt2,-1)] \\ & = (3,-3\sqrt2, 6) \bullet (-4, 0,-1) \\ & = 3(-4) + (-3\sqrt2)(0) + 6(-1) \\ & =-12 + 0- 6 =-18. \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{(\vec a- \vec b) \bullet (\vec b- \vec c)=-18}.$
Catatan: Skalar yang dimaksud di sini adalah bilangan real.
(Jawaban A)

Karena $\vec a + \vec b= \widehat{i}-\widehat{j}+4\widehat{k}$, panjangnya adalah
$\begin{aligned} |\vec a + \vec b| & = \sqrt{(1)^2+(-1)^2+(4)^2} \\ & = \sqrt{18}. \end{aligned}$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} |\vec a- \vec b|^2 & = |\vec a|^2 + |\vec b|^2- 2|\vec a||\vec b| \cos \theta = 14 \\ |\vec a + \vec b|^2 & = |\vec a|^2 + |\vec b|^2 + 2|\vec a||\vec b| \cos \theta = 18. \end{aligned}$$Kurangi kedua persamaan di atas sehingga diperoleh
$\begin{aligned}-4|\vec a||\vec b| \cos \theta & =-4 \\ |\vec a||\vec b| \cos \theta & = 1 \\ \vec a \bullet \vec b & = 1. \end{aligned}$
Jadi, perkalian titik dari vektor $\vec a$ dan $\vec b$ adalah $\boxed{\vec a \bullet \vec b = 1}.$
(Jawaban D)

Diketahui
$\begin{aligned} \vec k & = (9,0,-6) \\ \vec l & =(2,4,-1) \\ \vec m & =(2,1,2) \\ \vec n & =(1,-3,-2). \end{aligned}$
Dengan menggunakan operasi penjumlahan pada vektor, diperoleh
$$\begin{aligned} \vec k & = a \vec l + b \vec m + c \vec n \\ (9, 0,-6) & = a(2,4,-1)+b(2,1,2)+c(1,-3,-2) \\ (9, 0,-6) & = (2a+2b+c, 4a+b-3c,-a+2b-2c). \end{aligned}$$Dari sini, diperoleh SPLTV:
$\begin{cases} 2a+2b+c = 9 \\ 4a+b-3c = 0 \\-a+2b-2c=-6 \end{cases}$
SPLTV di atas dapat diselesaikan dengan banyak cara seperti metode substitusi/eliminasi, aturan Cramer, aturan invers, eliminasi Gauss/Jordan, dan sebagainya.
Penyelesaian SPLTV di atas adalah $a=2, b=1,$ dan $c=3.$
Untuk itu,
$\begin{aligned} 2a+5b-7c & =2(2)+5(1)-7(3)\\ & =4+5-21=-12. \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{2a+5b-7c=-12}.$
(Jawaban A)

Karena $(\vec u + \vec v)$ tegak lurus dengan $(\vec u-\vec v)$, berlaku
$\begin{aligned} (\vec u + \vec v) \bullet (\vec u + \vec v) & = 0 \\ (\vec u \bullet \vec u)-(\vec v \bullet \vec v) & = 0 \\ (|\vec u|^2 \cos 0^{\circ})-(|\vec v|^2 \cos 0^{\circ}) & = 0 \\ |\vec u|^2 & = |\vec v|^2. \end{aligned}$
Karena masing-masing $|\vec u|$ dan $|\vec v|$ menyatakan panjang vektor, nilainya tak mungkin negatif sehingga didapat $|\vec u| = |\vec v|.$
(Jawaban B)

Titik $P$ berada pada $AB$ dengan $AP : PB = 3 : 2$ sehingga koordinat titik $P$ dapat ditentukan sebagai berikut.
1) Absis
$\begin{aligned} x_P & = \dfrac{1}{3+2}(2x_A + 3x_B) \\ & = \dfrac15(2(2)+3(2)) = 2 \end{aligned}$
2) Ordinat
$\begin{aligned} y_P & = \dfrac{1}{3+2}(2y_A + 3y_B) \\ & = \dfrac15(2(1)+3(-4)) =-2 \end{aligned}$
3) Aplikat
$\begin{aligned} z_P & = \dfrac{1}{3+2}(2z_A + 3z_B) \\ & = \dfrac15(2(-4)+3(6)) = 2 \end{aligned}$
Jadi, koordinat titik $P$ adalah $(2,-2, 2)$.
Dengan demikian,
$$\boxed{\begin{aligned} \vec PC & = C- P = (-2, 5, 4)-(2,-2, 2) \\ & = (-4, 7, 2). \end{aligned}}$$(Jawaban E)

Cara 1:
Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} \vec{AB} & = \vec {AS} + \vec {ST} + \vec {TB} \\ \vec{AD} & = \vec {AS} + \vec {ST} + \vec {TD} \\ \vec{CB} & = \vec {CS} + \vec {ST} + \vec {TB} \\ \vec{CD} & = \vec {CS} + \vec {ST} + \vec {TD}. \end{aligned}$
Karena $T$ titik tengah $BD$, $\vec {TB}$ dan $\vec{TD}$ memiliki panjang yang sama dan arahnya berlawanan sehingga $\vec{TB} =-\vec{TD}.$ 
Karena $S$ titik tengah $AC$, $\vec {AS}$ dan $\vec{CS}$ juga memiliki panjang yang sama dan arahnya berlawanan sehingga $\vec{AS} =-\vec{CS}$. 
Dengan demikian, apabila keempat persamaan di atas dijumlah, diperoleh
$\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{CB} +\vec {CD} = 4\vec{ST} = 4\vec u.$
Cara 2:
Misal vektor posisi titik $A,B,C,D$ berturut-turut adalah $\vec a, \vec b, \vec c, \vec d$.
Karena $S$ di tengah $AC$, vektor posisi $S$ adalah $\vec s = \dfrac{\vec a + \vec c}{2}$, dan juga karena $T$ di tengah $BD$, vektor posisi $T$ adalah $\vec t = \dfrac{\vec b + \vec d}{2}.$
Dengan demikian,
$\vec{ST} = \vec u = \vec t-\vec s = \dfrac{\vec b+\vec d}{2}-\dfrac{\vec a+ \vec c}{2}.$
Ini berarti,
$$\begin{aligned} & \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{CB} +\vec {CD} \\ & = (\vec b- \vec a) + (\vec d-\vec a) + (\vec b-\vec c) + (\vec d-\vec c) \\ & = 2(\vec b + \vec d)-2(\vec a + \vec c) \\ & = 4\left(\dfrac{\vec b+ \vec d}{2}-\dfrac{\vec a+ \vec c}{2}\right) = 4\vec u. \end{aligned}$$Jadi, $\boxed{\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{CB} +\vec {CD} =4 \vec u}.$
(Jawaban D)

Diketahui
$\begin{aligned} \vec u & = (3,-1, 2) \\ \vec v & = (1, n,-2) \\ \vec w & = (1, m,-p). \end{aligned}$
Karena $\vec u$ dan $\vec v$ saling tegak lurus, 
$\begin{aligned} \vec u \bullet \vec v & = 0 \\ (3,-1,2) \bullet (1,n,-2) & = 0 \\ 3(1) + (-1)(n)+2(-2) & = 0 \\ 3-n-4 & = 0 \\ n & =-1. \end{aligned}$
Ini berarti, $\vec v = (1,-1,-2)$.
Karena $\vec u$ dan $\vec w$ saling tegak lurus, 
$\begin{aligned} \vec u \bullet \vec w & = 0 \\ (3,-1,2) \bullet (1,m,-p) & = 0 \\ 3(1) + (-1)(m)+2(-p) & = 0 \\ 3-m-2p & = 0 \\ m+2p = 3. \end{aligned}$
Karena $\vec u$ dan $\vec w$ saling tegak lurus, 
$\begin{aligned} \vec v \bullet \vec w & = 0 \\ (1,-1,-2) \bullet (1,m,-p) & = 0 \\ 1(1) + (-1)(m)+(-2)(-p) & = 0 \\ 1-m+2p & = 0 \\-m+2p =-1. \end{aligned}$
Diperoleh SPLDV: $\begin{cases} m+2p = 3 \\-m+2p=-1 \end{cases}$ yang memiliki penyelesaian $m = 2$ dan $p = \dfrac12.$
Jadi, nilai $\boxed{m+n+p=2+(-1)+\dfrac12 = 1\dfrac12}.$
(Jawaban C)

Perhatikan bahwa $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = 0$ ekuivalen dengan $\vec{a} + \vec{b} = -\vec{c}$ dengan representasi gambarnya berupa segitiga sembarang sebagai berikut.

Misalkan sudut yang dibentuk oleh $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ adalah $\theta$, maka dengan menggunakan aturan kosinus, diperoleh
$\begin{aligned} |c|^2 & = |a|^2 + |b|^2-2|a| |b| \cos \theta \\ 7^2 & = 3^2+5^2-2(3)(5) \cos \theta \\ 49 & = 9+25-30 \cos \theta \\ 49 & = 34-30 \cos \theta \\ 15 & = -30 \cos \theta \\ \cos \theta & = -\dfrac{15}{30} = -\dfrac12. \end{aligned}$
Diperoleh $\theta = 120^{\circ}$ atau $\theta = \dfrac{2\pi}{3}.$
Jadi, besar sudut antara $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ sama dengan $\boxed{\dfrac{2\pi}{3}}.$
(Jawaban E)

Diketahui
$\vec{u} = (a,b,c)~~~~\vec{v} = (b, a, 3)$.
Karena $\vec {u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}|^2,$ berdasarkan definisi perkalian skalar vektor dan panjang vektor, diperoleh persamaan
$$\begin{aligned} ab + ab + 3c & = a^2+b^2+c^2 \\ \color{blue}{a^2+b^2+c^2-2ab-3c} & = 0. \end{aligned}$$Karena $|\vec{u}-\vec{v}|^2 = 5$, kita peroleh
$$\begin{aligned} (a-b)^2+(b-a)^2+(c-3)^2 & = 5 \\ 2(a-b)^2 + (c-3)^2 & = 5 \\ (2a^2-4ab+2b^2)+(c^2-6c+9) & = 5 \\ 2a^2+2b^2+c^2-4ab-6c & =-4 \\ 2(\color{blue}{a^2+b^2+c^2-2ab-3c})-c^2 & =-4 \\ 2(0)-c^2 & =-4 \\ c & = \pm 2. \end{aligned}$$Untuk $c = 2$, diperoleh $c^3+2c+2 = (2)^3+2(2)+2 = 14.$
Untuk $c=-2$, diperoleh
$\begin{aligned} c^3+2c+2 & = (-2)^3+2(-2)+2 \\ & =-10. \end{aligned}$
Jadi, nilai $c$ yang mungkin adalah $\boxed{14~\text{atau}~-10}.$
(Jawaban E)

Diketahui
$\begin{aligned} \vec u & = (b, a, 9) \\ \vec v & = (a,-b, a) \\ \angle(\vec u, \vec v) & = \theta \\ \cos \theta & = \dfrac{6}{11} \\ \vec u_{\vec v} & = \vec p = (4,-2, 4). \end{aligned}$
Misalkan $n = \dfrac{\vec u \bullet \vec v} {|\vec v|^2}.$
Dengan menggunakan rumus proyeksi ortogonal vektor, didapat
$\begin{aligned} \vec u _{\vec v} & = n \cdot \vec v \\ (4,-2,4) & = n(a,-b, a) \\ (4,-2,4) & = (na,-nb, an). \end{aligned}$
Dari sini, diperoleh $4=na$ dan $-2=-nb$.
Kedua persamaan di atas dapat ditulis menjadi $n = \dfrac{a}{4}$ dan $n = \dfrac{2}{b}.$
Untuk itu, $\dfrac{a}{4} = \dfrac{2}{b} \Leftrightarrow a = 2b.$
Selanjutnya, dengan menggunakan aturan kosinus pada vektor, didapat
$$\begin{aligned} \cos \theta & = \dfrac{\vec u \bullet \vec v}{|\vec u| \cdot |\vec v|} \\ \dfrac{6}{11} & = \dfrac{(b, a, 9) \bullet (a,-b, a)}{\sqrt{b^2+a^2+(9)^2} \cdot \sqrt{a^2 + (-b)^2 + a^2}} \\ \dfrac{6}{11} & = \dfrac{ab- ab + 9a}{\sqrt{a^2+b^2+81} \cdot \sqrt{2a^2 + b^2}} \\ & \text{Substitusikan}~a = 2b \\ \dfrac{6}{11} & = \dfrac{9(2b)}{\sqrt{(2b)^2+b^2+81} \cdot \sqrt{2(2b)^2 +b^2}} \\ \dfrac{6}{11} & = \dfrac{18b}{\sqrt{5b^2+81} \cdot \sqrt{9b^2}} \\ \dfrac{6}{11} & = \dfrac{\cancelto{6}{18b}}{\sqrt{5b^2+81} \cdot \cancel{3b}} \\ 11 & = \sqrt{5b^2+81} \\ 121 & = 5b^2+81 \\ b^2 & = \dfrac{121-81}{5} = 8 \\ b & = 2\sqrt2. \end{aligned}$$Jadi, nilai $b$ adalah $\boxed{2\sqrt{2}}.$
(Jawaban C)

Diketahui $\vec{AB} = (3, -3, 4)$ dan $\vec{AD} = (1, -2, 1).$
Proyeksi vektor ortogonal $\vec{AD}$ pada $\vec{AB}$ dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} \vec{AE} & = \dfrac{\vec{AD} \bullet \vec{AB}}{|\vec{AB}|^2} \cdot \vec{AB} \\ & = \dfrac{(1, -2, 1) \bullet (3, -3, 4)}{3^2+(-3)^2+4^2} \cdot \vec{AB} \\ & = \dfrac{1 \cdot 3 + (-2) \cdot (-3) + 1 \cdot 4}{9+9+16} \cdot \vec{AB} \\ & = \dfrac{13}{34} \cdot \vec{AB}. \end{aligned}$$Dengan demikian, didapat
$$\begin{aligned} \vec{DC} & = \vec{EF} \\ & = \vec{AB}-\vec{AE}-\vec{FB} \\ & = \vec{AB}-2\vec{AE} && (\vec{AE} = \vec{FB}) \\ & = \vec{AB}-2 \cdot \dfrac{13}{34} \vec{AB} \\ & = \left(1-\dfrac{13}{17}\right) \vec{AB} \\ & = \dfrac{4}{17}\left(3\vec{i}-3\vec{j}+4\vec{k}\right). \end{aligned}$$Jadi, vektor $DC$ dinyatakan oleh $\boxed{\vec{DC} = \dfrac{4}{17}\left(3\vec{i}-3\vec{j}+4\vec{k}\right)}.$
(Jawaban A)

Jawaban a)
Diketahui $\vec{AB} = \vec u$ dan $\vec{AF} = \vec v$. Dengan demikian,
$\vec{OF} = -\vec{AB} = -\vec u.$
Untuk itu,
$\begin{aligned} \vec{OA} & = \vec{OF} + \vec{FA} \\ & = \vec{OF}-\vec{AF} \\ & = -\vec u -\vec v. \end{aligned}$
Jadi, diperoleh $\boxed{\vec{OA} = -\vec u-\vec v}.$
Jawaban b)
Diketahui $\vec{AF} = \vec v$. Dari jawaban a di atas, diketahui juga bahwa $\vec{OA} = \vec{EF} = -\vec u-\vec v.$
Untuk itu,
$\begin{aligned} \vec{AE} & = \vec{AF} + \vec{FE} \\ & = \vec{AF}-\vec{EF} \\ & = \vec v-(-\vec u-\vec v) = 2 \vec v+\vec u. \end{aligned}$
Jadi, diperoleh $\boxed{\vec{AE} = 2 \vec v+\vec u}.$
Jawaban c)
Dari jawaban a di atas, diketahui bahwa $\vec{OA} = -\vec u- \vec v$ sehingga
$\vec{AO} = \vec v+\vec u.$
Karena $\vec{AO} = \vec{OD}$ (memiliki arah dan nilai yang sama), haruslah
$\begin{aligned} \vec{AD} & = \vec{AO} + \vec{OD} \\ & = \vec{AO} + \vec{AO} \\ & = 2\vec{AO} = 2(\vec v+\vec u). \end{aligned}$
Jadi, diperoleh $\boxed{\vec{AD} = 2(\vec v+\vec u)}.$

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Diketahui
$\begin{aligned} \vec{OP} & = \vec u \\ \vec{OQ} & = \vec v. \end{aligned}$
Perhatikan vektor $QP$. Jumlah dari vektor $QO$ dan $OP$ sama dengan $\vec{QP}$ sehingga
$\begin{aligned} \vec{QP} & = \vec{QO} + \vec{OP} \\ & =-\vec{OQ} + \vec{OP} \\ & =-\vec v + \vec u. \end{aligned}$
Karena panjang $\vec{MN}$ setengah dari panjang $\vec{QP}$, didapat
$\boxed{\vec{MN} = \dfrac12(-\vec v + \vec u)}.$

Diketahui 
$\begin{aligned} \vec a & = (2,-1, 2) \\ \vec b & = (4,-x,-8). \end{aligned}$
Karena vektor $(\vec a + \vec b)$ tegak lurus dengan $\vec a$, haruslah
$$\begin{aligned} (\vec a + \vec b) \bullet \vec a & = 0 \\ [(2,-1, 2) + (4,-x,-8) \bullet (2,-1, 2) & = 0 \\ (6,-1-x,-6) \bullet (2,-1, 2) & = 0 \\ 6(2) + (-1-x)(-1) + (-6)(2) & = 0 \\ \cancel{12} + 1 + x-\cancel{12} & = 0 \\ 1+x & = 0 \\ x & =-1. \end{aligned}$$Dengan demikian, vektor $b$ dinyatakan oleh 
$\vec b = (4,-(-1),-8) = (4, 1,-8).$
Untuk mencari vektor satuan yang searah dengan vektor $\vec b$, kita hanya perlu membagi tiap komponen vektor $\vec b$ dengan panjangnya.
Diketahui panjang (magnitude) $\vec b$ adalah
$\begin{aligned} |\vec b| & = \sqrt{(4)^2+(1)^2+(-8)^2} \\ & = \sqrt{16+1+64} = \sqrt{81} = 9. \end{aligned}$
Vektor satuan yang dimaksud adalah 
$\begin{aligned} \vec b_i & = \dfrac{\vec b}{|\vec b|} \\ & = \dfrac{1}{9}(4, 1,-8) \\ & = \left(\dfrac49, \dfrac19,-\dfrac89\right). \end{aligned}$
Catatan: Untuk mengecek apakah jawaban ini benar, kita hanya perlu mencari panjang vektor $\vec b_i$. Karena vektor satuan adalah vektor yang panjangnya 1, haruslah $|\vec b_i| = 1$.

Jawaban a)
Dengan menggunakan aturan kosinus pada vektor, didapat
$$\begin{aligned} |\vec a + \vec b| & = \sqrt{|\vec a|^2+|\vec b|^2+2|\vec a||\vec b| \cos \angle(\vec a, \vec b)} \\ & = \sqrt{10^2+6^2+2(10)(6) \cos 60^{\circ}} \\ & = \sqrt{100+36+\cancel{2}(60) \dfrac{1}{\cancel{2}}} \\ & = \sqrt{196} = 14. \end{aligned}$$Jadi, panjang vektor $(\vec a + \vec b)$ adalah $\boxed{14}.$
Jawaban b)
Karena $\angle(\vec a, \vec b) = 60^{\circ}$, didapat $\angle(\vec a,-\vec b) = 180^{\circ}-60^{\circ} = 120^{\circ}$ sehingga dengan menggunakan aturan kosinus pada vektor, diperoleh
$$\begin{aligned} |\vec a-\vec b| & = \sqrt{|\vec a|^2+|-\vec b|^2+2|\vec a||-\vec b| \cos \angle(\vec a,-\vec b)} \\ & = \sqrt{10^2+(-6)^2+2(10)(-6) \cos 120^{\circ}} \\ & = \sqrt{100+36-\cancel{2}(60) \left(-\dfrac{1}{\cancel{2}}\right)} \\ & = \sqrt{196} = 14. \end{aligned}$$Jadi, panjang vektor $(\vec a-\vec b)$ adalah $\boxed{14}.$
Jawaban c)
Karena $\angle(\vec a, \vec b) = 60^{\circ}$, haruslah $\angle(2\vec a,-\vec b) = 180^{\circ}-60^{\circ} = 120^{\circ}.$
(Kelipatan skalar vektor tidak mengubah arahnya)
Dengan menggunakan aturan kosinus pada vektor, diperoleh
$$\begin{aligned} |2\vec a-\vec b| & = \sqrt{|2 \vec a|^2+|-\vec b|^2+2|2 \vec a||-\vec b| \cos \angle(2 \vec a,-\vec b)} \\ & = \sqrt{4(10)^2+(-6)^2+2(2)(10)(-6) \cos 120^{\circ}} \\ & = \sqrt{400+36-\cancel{2}(120) \left(-\dfrac{1}{\cancel{2}}\right)} \\ & = \sqrt{556} = 2\sqrt{139}. \end{aligned}$$Jadi, panjang vektor $(2\vec a,-\vec b)$ adalah $\boxed{2\sqrt{139}}.$

Jawaban a)
$$\begin{aligned} |\vec{a}-\vec{b}| & = \sqrt{(\vec{a}-\vec{b})^2} \\ & = \sqrt{\vec{a} \bullet \vec{a}-2 \cdot \vec{a} \bullet \vec{b}+\vec{b} \bullet \vec{b}} \\ & = \sqrt{|\vec{a}|^2-2 \cdot \vec{a} \bullet \vec{b} + |\vec{b}|^2} \\ & = \sqrt{(1)^2-2 \cdot 5 + (9)^2} \\ & = \sqrt{1-10+81} = \sqrt{72} = 6\sqrt2 \end{aligned}$$Jawaban b)
$$\begin{aligned} |2\vec{a}-3\vec{b}| & = \sqrt{(2\vec{a}-3\vec{b})^2} \\ & = \sqrt{4 \cdot \vec{a} \bullet \vec{a}-12 \cdot \vec{a} \bullet \vec{b}+9 \cdot \vec{b} \bullet \vec{b}} \\ & = \sqrt{4|\vec{a}|^2-12 \cdot \vec{a} \bullet \vec{b} + 9|\vec{b}|^2} \\ & = \sqrt{4(1)^2-12 \cdot 5 + 9(9)^2} \\ & = \sqrt{4-60+729} = \sqrt{673} \end{aligned}$$

Berdasarkan prinsip penjumlahan vektor, kita tahu bahwa $\vec{a} + \vec{c} = \vec{b}$ sehingga
$\begin{aligned} \vec{a} \bullet (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) & = \vec{a} \bullet (\vec{b} + \vec{b}) \\ & = 2(\vec{a} \bullet \vec{b}). \end{aligned}$
Selanjutnya, akan dicari nilai $\vec{a} \bullet \vec{b}$ menggunakan aturan kosinus pada vektor: $\cos \theta = \dfrac{\vec{a} \bullet \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$.
Besar sudut antara dua vektor itu adalah $60^{\circ}$ (karena segitiga sama sisi) dan panjang vektor $a$ dan $b$ masing-masing $4$ satuan. Untuk itu,
$\begin{aligned} \cos 60^{\circ} & = \dfrac{\vec{a} \bullet \vec{b}}{4 \cdot 4} \\ \dfrac12 & = \dfrac{\vec{a} \bullet \vec{b}}{9} \\ \vec{a} \bullet \vec{b} & = 8. \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh $\boxed{2(\vec{a} \bullet \vec{b}) = 2(8) = 16}.$

Jawaban a)
Titik $P$ terletak pada $AB$ sedemikian sehingga $AP : PB = 1:3$.
Untuk itu, koordinat $P$ dapat ditentukan sebagai berikut.
Absis: 
$\begin{aligned} x_P & = \dfrac{1}{1+3}(1x_B + 3x_A) \\ & = \dfrac14(1(-2)+3(0)) =-\dfrac12 \end{aligned}$
Ordinat:
$\begin{aligned} y_P \\ & = \dfrac{1}{1+3}(1y_B + 3y_A) \\ & = \dfrac14(1(0)+3(4)) = 3 \end{aligned}$
Aplikat:
$\begin{aligned} z_P & = \dfrac{1}{1+3}(1z_B + 3z_A) \\ & = \dfrac14(1(4)+3(6)) = \dfrac{11}{2} \end{aligned}$
Jadi, koordinat $P$ adalah $\boxed{\left(-\dfrac12, 3, \dfrac{11}{2}\right)}.$
Jawaban b)
Diketahui bahwa
$\begin{aligned} \vec{AP} & = P- A \\ & = \left(-\dfrac12, 3, \dfrac{11}{2}\right)- (0, 4, 6) \\ & = \left(-\dfrac12,-1,-\dfrac12\right) \\ \vec{AC} & = C- A \\ &  = (2,2,2)-(0,4,6) \\ & =(2,-2,-4) \\ |\vec{AC}|^2 & = (2)^2+(-2)^2+(4)^2 = 24. \end{aligned}$
Dengan menggunakan rumus proyeksi vektor, didapat
$$\begin{aligned} \vec{AP}_{\vec{AC}} & = \dfrac{\vec{AP} \bullet \vec{AC}}{|\vec{AC}|^2} \cdot \vec{AC} \\ & = \dfrac{\left(-\dfrac12,-1,-\dfrac12\right) \bullet (2,-2,-4)}{24} \cdot (2,-2, 4) \\ & = \dfrac{-1 + 2 + 2}{24} \cdot (2,-2, 4) \\ & = \left(\dfrac14,-\dfrac14, \dfrac12\right). \end{aligned}$$Jadi, proyeksi vektor $\vec{AP}$ pada $\vec{AC}$ adalah $\boxed{\dfrac14 \widehat i- \dfrac14 \widehat j + \dfrac12 \widehat k}.$
Jawaban c)
Diketahui bahwa
$$\begin{aligned} \vec{AP} & = P- A = \left(-\dfrac12, 3, \dfrac{11}{2}\right)- (0, 4, 6) = \left(-\dfrac12,-1,-\dfrac12\right) \\ \vec{AC} & = C- A = (2,2,2)-(0,4,6)=(2,-2,-4) \\ |\vec{AC}| & = \sqrt{(2)^2+(-2)^2+(4)^2} = \sqrt{24} = 2\sqrt6. \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus proyeksi skalar, didapat
$$\begin{aligned} |\vec{AP}_{\vec{AC}}| & = \dfrac{\vec{AP} \bullet \vec{AC}}{|\vec{AC}|} \\ & = \dfrac{\left(-\dfrac12,-1,-\dfrac12\right) \bullet (2,-2,-4)}{2\sqrt6} \\ & = \dfrac{-1 + 2 + 2}{2\sqrt6} \\ & = \dfrac{3}{2\sqrt6} \color{red}{\times \dfrac{\sqrt6}{\sqrt6}} \\ & = \dfrac{\cancel{3}\sqrt6}{2(\cancelto{2}{6})} = \dfrac{1}{4}\sqrt6. \end{aligned}$$Jadi, proyeksi skalar $\vec{AP}$ pada $\vec{AC}$ adalah $\boxed{\dfrac14\sqrt{6}}.$

Perhatikan sketsa balok $OABC.DEFG$ berikut.
Karena $|\vec{OA}| = 4$ dan $|\vec{OC}| = |\vec{AB}| = 3,$ dengan rumus Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} |\vec{OB} & = \sqrt{|\vec{OA}|^2 + |\vec{AB}|^2} \\ & = \sqrt{4^2+3^2} = 5. \end{aligned}$
Misalkan $|\vec{c}|$ adalah proyeksi skalar $\vec{OF}$ pada $\vec{OB}$ sehingga
$|\vec{c}| = \dfrac{\vec{OF} \bullet \vec{OB}}{|\vec{OB}|}.$
Misalkan juga sudut antara $\vec{OB}$ dan $\vec{OF}$ adalah $\theta$ sehingga dengan menggunakan aturan kosinus pada vektor, diperoleh
$\begin{aligned} \cos \theta & = \dfrac{\vec{OF} \bullet \vec{OB}}{|\vec{OF}| \cdot |\vec{OB}|} \\ \dfrac{|\vec{OB}|}{\cancel{|\vec{OF}|}} & = \dfrac{\vec{OF} \bullet \vec{OB}}{\cancel{|\vec{OF}|} \cdot |\vec{OB}|} \\ |\vec{OB}|^2 & = \vec{OF} \bullet \vec{OB}. \end{aligned}$
Kembali pada rumus proyeksi skalar, diperoleh
$\begin{aligned} |\vec{c}| & = \dfrac{\vec{OF} \bullet \vec{OB}}{|\vec{OB}|} \\ & = \dfrac{|\vec{OB}|^2}{|\vec{OB}|} \\ & = |\vec{OB}| = 5. \end{aligned}$
Jadi, proyeksi skalar $\vec{OF}$ pada $\vec{OB}$ adalah $\boxed{5}.$

Perhatikan sketsa gambar segi empat $ABCD$ berikut.
Dari gambar, $\color{blue}{\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BD}}$.
Berdasarkan aturan penjumlahan vektor, diperoleh
$$\begin{aligned} \vec{PQ} & = \vec{PA} + \vec{AD}+\vec{DQ} \\ \vec{PQ} & = -\dfrac13 \vec{AC} + \vec{AD}-\dfrac23 \vec{BD} \\ \text{Kalikan}&~\text{kedua ruas dengan}~3 \\ 3\vec{PQ} & = -\vec{AC} + 3\vec{AD}-2 \vec{BD} \\ 3\vec{PQ} & = (\vec{AD} + 2\vec{AD})-2\vec{BD}-\vec{AC} \\ 3\vec{PQ} & = \vec{AD} + 2(\color{blue}{\vec{AB} + \vec{BD}}) -2\vec{BD}-\vec{AC} \\ 3\vec{PQ} & = 2\vec{AB}+\vec{AD}-\vec{AC}. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $$3\vec{PQ} = 2\vec{AB}+\vec{AD}-\vec{AC}.$$ $\blacksquare$